Profittere Fra Gjennomsnittet Reverse Yield Kurve Trading Strategier Pdf

Profitt fra Gjennomsnittlig tilbakevendende avkastningskurv Trading Strategies Abstrakt: En stor klasse av rentemarkedsstrategier fokuserer på muligheter som tilbys av renteterminestrukturen. Dette papiret studerer et sett av rentekurvehandelsstrategier som er basert på oppfatningen om at avkastningskurven gjennomsyrer til en ubetinget kurve. Disse gjennomsiktige handelsstrategiene utnytter avvik i nivået, helling og krumning av rentekurven fra historiske normer. Vi vurderer kontantneutrale handler med en måneders holdingsperioder. Noen gjennombruddsstrategier ble funnet å være svært lønnsomme, og overlegen, på en risikojustert basis før transaksjonskostnader, alternative strategier for en investering i Lehman Brothers Bond-indeksen (med opptil 5,9 ganger) og en investering i SP-indeksen (med opptil 5,1 ganger). Selv etter å ha regnskapet for transaksjonskostnader, er noen av disse strategiene fortsatt betydelig lønnsomme enn referansene. Videre kan transaksjonskostnadene reduseres vesentlig ved å endre handelsfrekvensen eller gjennom strukturerte derivater. Vi fant bevis på at effektiviteten i markedet har forbedret seg, og muligheten for meravkastning har redusert siden slutten av 1980-tallet. Relaterte verk: Dette elementet kan være tilgjengelig andre steder i EconPapers: Søk etter varer med samme tittel. Eksporter referanse: BibTeX RIS (EndNote, ProCite, RefMan) HTMLText Flere papirer i Econometric Society 2004 Australasian Møter fra Econometric Society Kontaktinformasjon på EDIRC. Serie data vedlikeholdt av Christopher F. Baum (). Dette nettstedet er en del av RePEc, og alle dataene som vises her er en del av RePEc datasettet. Er ditt arbeid manglet fra RePEc Her er hvordan du skal bidra. Spørsmål eller problemer Kontroller EconPapers FAQ eller send mail til. Prøve fra Gjennomgang av avkastningskurve Trading Strategies En stor klasse strategier for rentesatsing fokuserer på muligheter som tilbys av renteterminestrukturen. Dette papiret studerer et sett av rentekurvehandelsstrategier som er basert på oppfatningen om at avkastningskurven gjennomsyrer til en ubetinget kurve. Disse gjennomsiktige handelsstrategiene utnytter avvik i nivået, helling og krumning av rentekurven fra historiske normer. Vi vurderer kontantneutrale handler med en måneders holdingsperioder. Noen gjennombruddsstrategier ble funnet å være svært lønnsomme, og overlegen, på en risikojustert basis før transaksjonskostnader, alternative strategier for en investering i Lehman Brothers Bond-indeksen (med opptil 5,9 ganger) og en investering i SP-indeksen (med opptil 5,1 ganger). Selv etter å ha regnskapet for transaksjonskostnader, er noen av disse strategiene fortsatt betydelig lønnsomme enn referansene. Videre kan transaksjonskostnadene reduseres vesentlig ved å endre handelsfrekvensen eller gjennom strukturerte derivater. Vi har funnet bevis på at effektiviteten på markedet har forbedret seg, og muligheten for meravkastning har redusert siden slutten av 1980-tallet. Hvis du opplever problemer med å laste ned en fil, må du kontrollere om du har det riktige programmet for å se det først. I tilfelle av flere problemer, les IDEAS hjelpesiden. Vær oppmerksom på at disse filene ikke er på IDEAS-siden. Vær så tålmodig som filene kan være store. Profit fra middel-tilbakevendende avkastningskurve Trading Strategies Transkripsjon 1 Profitt fra Gjennomsnittlig tilbakevendende avkastningskurv Trading Strategies Choong Tze Chua a, Winston T. H. Koh, b Krishna Ramaswamy c februar 2004 ABSTRAKT En stor klasse av rentemarkedsstrategier fokuserer på muligheter som tilbys av renteterminestrukturen. Dette papiret studerer et sett av rentekurvehandelsstrategier som er basert på oppfatningen om at avkastningskurven gjennomsyrer til en ubetinget kurve. Disse gjennomsiktige handelsstrategiene utnytter avvik i nivået, helling og krumning av rentekurven fra historiske normer. Vi vurderer kontantneutrale handler med en måneders holdingsperioder. Noen gjennombruddsstrategier ble funnet å være svært lønnsomme, og overlegen, på en risikojustert basis før transaksjonskostnader, alternative strategier for en investering i Lehman Brothers Bond-indeksen (med opptil 5,9 ganger) og en investering i SampP-indeksen (med opptil 5,1 ganger). Selv etter å ha regnskapet for transaksjonskostnader, er noen av disse strategiene fortsatt betydelig lønnsomme enn referansene. Videre kan transaksjonskostnadene reduseres vesentlig ved å endre handelsfrekvensen eller gjennom strukturerte derivater. Vi fant bevis på at effektiviteten på markedet har forbedret seg, og muligheten for meravkastning har redusert siden slutten av 1980-tallet. Nøkkelord: rentekurve, rentemarkedshandel, markedseffektivitet, statsobligasjoner a b c Forskningsstøtte fra Wharton-SMU Research Center, Singapore Management University er takknemlig anerkjent. Handelshøyskolen, Singapore Management University, 469 Bukit Timah Road, Singapore Tlf: Skole for økonomi og samfunnsvitenskap, Singapore Management University, 469 Bukit Timah Road, Singapore Tlf: Wharton School, University of Pennsylvania, 3259 Steinberg-Dietrich Hall, Philadelphia , PA 19104, USA. Tlf: 2 1. Innledning Handel med renteposter er en lønnsom virksomhet i globale investeringsbanker. I tillegg til å gi markedslikviditet gjennom markedsaktiviteter, bruker investeringsbanker også betydelige mengder proprietær kapital til å bytte et bredt spekter av rentebærende instrumenter, for eksempel statsobligasjoner til 30-årige statsobligasjoner, bedriftsobligasjoner og pantsatte verdipapirer mv. Foruten investeringsbanker driver hedgefond og dedikert obligasjonsfond også aktivt handelsmuligheter i renter. Strategiene som brukes varierer fra enkel arbitrage-handel til komplekse bransjer basert på tekniske eller markedsmessige syn på begrepet strukturer av renter og kredittrisiko. Disse rentekurvehandelsstrategiene er i hovedsak satsninger på endringer i termstrukturen. Disse handelsstrategiene kan bredt klassifiseres som retnings - og relativeverdier. Retningsmessig handel, som navnet tilsier, er bud på endringer i rentene i spesifikke retninger. Handel med relativ verdi, derimot, fokuserer på markedsutviklingen at den ubetingede avkastningskurven er oppadgående, og at den nåværende rentekurven vil bety til en ubetinget avkastningskurve. Et bredt spekter av trading teknikker brukes til å bygge relativ verdi handler basert på denne markedsvisningen. Det har imidlertid vært få anstrengelser for å undersøke utførelsen av disse handelsstrategiene, eller å sammenligne dem med kapitalinvesteringsstrategier. Litterman og Scheinkman (1991), Mann og Ramanlal (1997) og Drakos (2001) er nyere studier om emnet. I dette papiret analyserer vi forestillingen en bestemt klasse av slike relativ verdi trading teknikker som er direkte underforstått av ideen om at tilbakevending av avkastningskurven oppstår. Vi unngår bevisst data-snooping ved ikke å søke gjennom et stort antall mulige strategier for å finne noen som er lønnsomme. I stedet begynner vi fra markedsvisningen at rentekurven gjennomsyrer og utdanner handelsstrategier som følger mest naturlig fra en slik visning hvis nivået, spredningen eller krumningen er høyere (lavere) enn det historiske gjennomsnittet, satse på at nivået spredte seg eller krølling, vil redusere 2 3 (økning) mot det historiske gjennomsnittet. Vi skal referere til denne klassen av tekniske handelsstrategier som å gjennomgå handelsstrategier. Etter Litterman og Scheinkman (1991) vurderer vi de tre aspektene av rentekurven nemlig rentenivået, skråningen (dvs. avkastningsspredningen) og krumningen og konstruerer en portefølje av utbyttekurvehandelstrategier som senterer på hvert aspekt. For å legge til rette for en konsistent sammenligning av deres resultater, pålegger vi kontante nøytralitet og vurderer en måneders holdbarhetstid for hver kategori strategier, og justerer utbetalingen for risiko, målt ved standardavviket av utbetalingene. Vår studie abstrakte fra kredittrisiko - spesielt standardrisiko og valgte som datasett US Treasury-rentene fra perioden 1964 til 2000 for studien vår. For hvert aspekt av rentekurven vurderer vi strategier som handler på hele rentekurven, samt strategier som handler på individuelle deler av rentekurven. Analysen vår viser at det finnes et sett med gjennomsiktig handel som synes å tilby i gjennomsnitt overlegne utbetalinger, selv etter å ha regnskapet for transaksjonskostnader, over den perioden som ble vurdert i studien. Vi sammenligner disse utbetalingene med to referanser. Det første referanseporteføljen er en vanlig distribuert fastrentestrategi kalt renter av rentekurven. Dette innebærer i hovedsak å kjøpe renter og selge dem før forfall for å tjene terminen risikopremie. (se Stigum og Fabozzi (1987), s. 271). Det andre referansen innebærer en risikojustert strategi for å investere i SampP-indeksen, og finansiere handelen ved å kortslutte en måneds amerikanske statsobligasjoner. I denne sammenligningen fant vi ut at noen avkastningskurvestrategier overgår SampP-strategien med om lag 5,1 ganger, og Lehman Brothers Bond-indeksstrategien på 5,9 ganger, basert på en sammenligning av de risikoreduserte gjennomsnittlige bruttoutbetalinger. Det er tegn på at markedseffektiviteten viste seg å ha blitt bedre over tid, og muligheten for meravkastning har redusert. Vi har også funnet ut at de underforståtte transaksjonskostnadene som ville ha eliminert meravkastningen fra de fastsatte lønnsomme, gjennombruddige rentekurvehandlerne, ligger i størrelsesorden 0,01 av verdien av obligasjoner som handles, noe som er mindre enn 3 4 enn dagens transaksjonskostnad i marked for amerikanske statsobligasjoner (men ikke statsobligasjoner). Selv om fakturering i handelsutgifter kan virke som en reduksjon i fortjenesten fra noen av de gjennomsnittlige avkastningskurven (selv om en av strategiene fortsatt gir overskudd som var betydelig høyere enn referansene, selv etter å ha regnskapet for transaksjonskostnadene), må vi legge til at Den underforståtte transaksjonskostnaden vi har beregnet er basert på forutsetningen om å legge inn og utgå hver avkastningshandelsstrategi hver måned. Transaksjonskostnadene kan reduseres vesentlig ved å strukturere derivatvirksomhet på en ideell basis, som spegler de økonomiske kontantstrømmene i de underliggende rentekurvehandler, men uten å faktisk finansiere og holde obligasjonene. Disse derivatmarkeder utføres vanligvis i rentemarkedet. Derfor forblir potensialet for mer middelreverserende yieldkurvestrategier for å gi betydelig positiv avkastning. Resten av papiret er strukturert som følger. I avsnitt 2 diskuterer vi kortfattet teorien om renteterminestrukturen, og beskriver konstruksjonen av datasettet, de ulike klassene av gjennomsvingende yieldkurvehandelsstrategier som vi undersøker, samt de to referansene som brukes til sammenligning. Seksjon 3 presenterer resultatene, og diskuterer deres relative ytelse av de ulike rentekurvestrategiene mot hverandre. Vi sammenligner videre ytelsen til et sett med lønnsomme rentekurvestrategier mot de to referansene. Seksjon 4 avsluttes med forslag til videre forskning. 2. Mean-Reverting Yield Curve Strategies Det er et bredt utvalg av yield kurve trading strategier. Litteraturen om yieldkurvehandel dateres tilbake til slutten av 1960-tallet. En prøve av tidligere litteratur inkluderer De Leonardis (1966), Freund (1970), Darst (1975), Weberman (1976), Dyl and Joehnk (1981) og Stigum og Fabozzi (1987). Nyere analyse av emnet er funnet i 4 5 Jones (1991), Mann og Ramanlal (1997), Grieves and Marchus (1992), Willner (1996) og Palaez (1997). Vårt fokus i dette papiret er på rentekurvehandelsstrategier som er basert på konvensjonell rentesynsvisning, at rentekurven er tilbake til noen historisk norm. Denne markedsvisningen er i tråd med historisk erfaring. For eksempel handler amerikanske statsobligasjoner, sprer og krøller alle handler innenfor tette, begrensede grenser. Renteterminstrukturer i andre land viser også lignende mønstre. Dette antyder at en form for gjennombruddsmekanisme er på jobb som forhindrer avkastningskurven fra å drive til ekstreme nivåer eller former over tid. Markedsvisningen av avkastningskurven er også representert i teoretiske modeller av renteterminstrukturen som diskutert i Vasicek (1977), Cox, Ingersoll og Ross (1981, 1985) og Campbell og Shiller (1991), for eksempel som innlemmer noen form for gjennombruddsmekanismer og er basert på noen form for forventningshypotesen. 1 Hensikten med begrepsstrukturen er i hovedsak teorien om at langsiktig rentesats er gjennomsnittet av nåværende og forventede kortsiktige renter, slik at avkastningsspredningen er gjennomsiktig. 2 Renter langs rentekurven justerer for å utligne forventet avkastning på kort - og langsiktige investeringsstrategier. 3 Ved å inkorporere rasjonelle forventninger, innebærer den rene forventningshypotesen at meravkastning på lange obligasjoner over korte obligasjoner er uforutsigbare, med nullverdier i tilfelle den rene forventningshypotesen. Eventuelle arbitrage muligheter bør fanges og realiseres av investorer umiddelbart. Derfor, av 1 Shiller (1990), Campbell (1995) og Fisher (2001) gir undersøkelser av litteraturen om renteterminstruktur. 2 Dette ble først forklart av Fisher (1986) og raffinert av Lutz (1940) og Meiselman (1962). 3 En svakere versjon, referert til som forventningshypotesen, sier at forskjellen mellom forventet avkastning på kort - og langsiktige rentesettingsstrategier er konstant, selv om det ikke trenger å være null som kreves under den rene forventningshypotesen. 5 6 Rent forventningshypotes, Rentekurvehandlingsstrategier som forsøker å utnytte uregelmessigheter eller mispresninger i begrepsstrukturen, vil ikke gi konsekvent positive utbetalinger. Forventningshypotesen av begrepet strukturen står derfor i kontrast til utøverens oppfatning at det er mulig å konstruere gjennomsvingende yieldkurvehandelstrategier for å generere konsekvente positive utbetalinger. I stor grad forsøker gjennomsvingende rentekurvestrategier å dra nytte av avvik i dagens rentekurve i forhold til en ubetinget avkastningskurve. Tre vanlige bruksområder er: (a) kulestrategi, som er konstruert slik at forfall av obligasjoner er konsentrert til en bestemt del av avkastningsstrategien (b), som involverer investeringer over en rekke forfall og (c) barbellstrategi , som for eksempel er konstruert ved å investere i to ender av avkastningskurven og forkorte midtpartiet, eller omvendt (se Fabozzi, 1996). Det er lett å se at kulestrategier er hovedsakelig spill på rentenivået, mens stigerestrategier og barbellstrategier er bud på henholdsvis yieldspreads og curvatures. Det har ikke vært systematisk innsats for å undersøke utførelsen av disse handelsstrategiene, og forholde dem til prognosene for forventningshypotesen. Et unntak er Culbertson (1957) som beregner og gradert holdingsperiode returnerer, mellom en uke og tre uker, for korte og ulike langsiktige statsobligasjoner. Han fant at holdingsperioden returnerte var svært forskjellig fra observerte spotrenter, og konkluderte med at den rene forventningshypotesen, som forklart av Lutz (1940), ikke holdt. Forutsigbarheten av spotrentekurven og terminsrenten, som antydet av forventningshypotesen, har heller ikke funnet entydig empirisk støtte (se Hamburger and Platt, 1975). Shiller, Campbell og Schoenholtz (1983) viste at begrepet struktur ikke gir informasjon om fremtidig endring i de 6 7 kortsiktige rentene. Videre, som Cox, Ingersoll og Ross (1985) først viste, er de forskjellige versjonene av forventningshypotesen ikke teoretisk konsistente. Mankiw og Miron (1986) fant også at forutsigbarheten av begrepet strukturen forsvinner etter grunnleggelsen av Federal Reserve. Etterfølgende arbeid av Rudebusch (1995) og Balduzzi, Bertola og Foresi (1997) fant også at endringer i renten skyldtes uventede endringer i Fed-målrettingen. 2.1 Data Datasettet vi bruker til vår studie er Fama-Bliss datasettet hentet fra CRSP (Senter for forskning i verdipapirpriser, 2000). Datasettet inneholder månedlige data om nullkupongutbytter som er avledet av en rentekurve for amerikanske statsobligasjoner og obligasjoner fra 30. juni 1964 til 29. desember. I denne undersøkelsen uttrykker vi alle nullkupongutbytter i form av kontinuerlig sammensatte utbytter. Disse nullkupongutbyttene har løpetider som er omtrent 1 måned, 2 måneder. 12 måneder, 24 måneder, 36 måneder, 48 måneder og 60 måneder. De observerte løpetidene er omtrentlige i den forstand at enkelte obligasjoner kan være 0,9 måneder, 3,3 måneder eller 11,8 måneder i løpetid. Videre er observasjonsintervallet for hver utbyttekurve bare ca. en måned fra hverandre (for eksempel 28 dager eller 33 dager). Det totale antall rentekurveobservasjoner i vårt datasett er 439. For formålet med studien regulerer vi datasettet. Dette utføres i to trinn. Først utfører vi en tverrsnittslinjær interpolering til hver nullrentekurve for å oppnå utbyttene ved månedlige tenor fra 1 måned til 60 måneder. For eksempel, hvis de observerte utbyttene er 9,8 måneder, 11,3 måneder og 12,3 måneder, interpolerer vi lineært for å oppnå utbyttet for 10-måneders, 11 måneders og 12-måneders tenors. Tilsvarende, for utbytter på 12,3 måneder og 24,5 måneder, for eksempel, interpolerer vi lineært for å oppnå utbytter for løpetid på 13 måneder, 14 måneder. 24 måneder, etc. Prosessen gjentas 7 8 for resten av rentekurven. For vår analyse skal vi referere til obligasjoner med avkastning som observeres i markedet som primære obligasjoner, og obligasjoner med forfall som ikke observeres i markedet som hypotetiske obligasjoner. Hypotetiske obligasjoner har derfor forfall større enn 12 måneder, men er ikke delbare med 12. Sondringen er gjort for å lette en sammenligning av alternative rentekurvestrategier i vår analyse. Det andre trinnet vi tok for å regulere datasettet, er en midlertidig lineær interpolasjonsprosedyre. Følgende eksempel forklarer prosedyren. Anta at det interpolerte 13-måneders utbyttet blir observert på tre datoer, 7 (dato 0), 7,5 (28 dager senere) og 6 (ytterligere 33 dager senere). Siden vi fokuserer på en holdingsperiode på en måned, krever vi at rentekurvene skal ha nøyaktig en måneders mellomrom for å beregne utbetalingen ved slutten av hver opptjeningsperiode. For vår hensikt definerer vi dette for å være dager delt med 12, dvs. dager. Derfor er det temporært interpolerte 13-måneders utbyttet i dette eksemplet 7 (dato 0), (dager) og (ytterligere dager senere). Siden holdbarhetsperioden for hver handel er en måned, er den relevante terminkurvekurven som man skal sammenligne med ubetinget avkastningskurve, den enmåneders forrentningskurven. Den månedlige terminsrenten på en løpetid på X måneder beregnes som følger. La r X, 0 angi den nåværende renten mens r X, 1 angir den forrige rentesatsen. Vi har xx rx, 1 r1,0 rx 1, eee (1) Til slutt beregnes det ubetingede avkastningen ved hver forfall (for primære og hypotetiske obligasjoner) til enhver tid som det enkle gjennomsnittet av alle avkastningene som er observert for den forfall siden juni 1964 til foregående måned. Vi definerer den ubetingede rentekurven til enhver tid som settet av ubetingede avkastninger over alle løpetidene. Figur 1 nedenfor illustrerer ubetinget avkastningskurve for ulike datoer. 8 9 INSERT FIGUR 1 HER Strategier Vi ser på tre klasser av middel-tilbakeførende rentekurvestrategier, med fokus på de tre aspektene av rentekurven: nivå, skråning (dvs. avkastningsspredning) og krumning. For hver strategi fastsettes handelsperioden for en handel på en måned, hvorefter en ny handel påbegynnes. Vi stiller betingelsen for kontanterneutralitet, slik at eventuelle overskytende kontanter blir deponert på 1 måneders tenor. Tilsvarende, hvis ytterligere finansiering er nødvendig, utføres dette på 1 måneders tenor. Som forfallstid X måneder har en varighet på (X 1) måneder, har innskuddene og låneopptakene på en måneds tenor ingen innvirkning på varigheten av hver handel. Vi tillater en opplæringsperiode på 102 måneder i oppbyggingen av ubetinget avkastningskurve slik at vår beregning av gjennomsnittlig utbetaling av hver avkastningsstrategi starter fra januar 1973 til desember. En årsak til valg av opplæringsperiode er det faktum at Lehman Brothers US Intermediate Bond Index starter i januar Klasse 1: Gjennomsnittlig reversering av avkastningsnivåer Denne klassen av utbyttekurvehandelsstrategier er basert på visningen om at rentekurvenivået reverterer til ubetinget nivå. Vi vurderer to strategier. Strategi 1-A: Gjennomsnittlig reversering av gjennomsnittlig avkastning til ubetinget gjennomsnitt Denne strategien mener at gjennomsnittsnivået på rentekurven reagerer på den ubetingede rentekurven. I denne handelen sammenligner vi gjennomsnittet av alle enmåneders forrentning på en bestemt dato mot det tilsvarende gjennomsnittet 9 10 for ubetinget avkastningskurve. Hvis gjennomsnittlig rentenivå for enmåneders forrentningskurve er høyere (lavere) enn gjennomsnittet for ubetinget avkastningskurve, er forventningen om at en måneds fremadrentekurve vil skifte ned (opp). Den underforståtte strategien er å gå lang (kort) alle obligasjonene med forfall lenger enn en måned. Vi ser på to versjoner av handelen, en for forfall av bare primære obligasjoner, og en annen for alle forfall, inkludert alle de interpolerte løpetidene til de hypotetiske obligasjonene. Handelen er konstruert som følger. Hvis k59 dollar er investert i 60-månedersobligasjonen, med en varighet på 59 måneder i løpet av en måneders beholdningsperiode, vil beløpet av kontanter investert i en løpetid på X måneder med varighet på (X 1) måneder, vær k (x 1) dollar. Midlene som kreves for å investere i alle obligasjonene, lånes på måneden tenor. Tilsvarende, hvis handelen skal gå kort alle obligasjonene, så blir kontanter deponert i en-måneders tenor. Derfor er strategien en varighetsvektet, kontantnøkkelhandel. I denne strategien genererer et parallelt skifte i rentekurven omtrent like stort bidrag til utbetalingen ved hver løpetid. Strategi 1-B: Gjennomsnittlig reversering av avkastning ved hver løpetid til ubetinget nivå Denne strategien er basert på oppfatningen om at avkastningen ved hver modenhet betyr tilbake til ubetinget nivå. I denne handelen er forventningen om at fremtidig avkastningskurve vil falle (stigning) dersom renten på en måned fremover er høyere (lavere) enn tilsvarende nivå på den ubetingede rentekurven. Med unntak av en måneds løpetid, er den underforståtte strategien å gå lang (kort) obligasjonen. Handelen er konstruert slik at et parallelt skifte i rentekurven genererer omtrent like bidrag til utbetalingen ved hver løpetid. Hvis vi går lange eller korte k59 dollar i 60-månedersobligasjonen, vil beløpet til lange eller korte en forfallstid på X måneder, med varighet på (X 1) måneder være k (x 1) dollar. Igjen er enmånedersektoren der innskudd og lån opprettes til 10 11 oppnå kontantneutralitet. Vi ser på to versjoner av handelen, en for forfall av bare primære obligasjoner, og en annen for forfall, inkludert alle de interpolerte løpetidene til de hypotetiske obligasjonene. Klasse 2: Gjennomsnittlig reversering av rentespredninger I denne strategien ligger fokus på den gjennomsnittlige reversering av stigningen av rentekurven. To versjoner av handelen utføres. Strategi 2-A: Gjennomsnittlig reversering av avkastningsspredning for hele avkastningskurven Handelen er konstruert som følger. Vurder spredningen mellom 59-måneders og 1-måneders løpetid på enmåneders forrentningskurve, og sammenlign den med den ubetingede avkastningskurven. Hvis den enmåneders forrentede rentespredningen er større (mindre) enn historisk gjennomsnitt, er forventningen at helling av rentekurven vil falle (økning). Den underforståtte strategien er å gå lang (kort) 60 måneders obligasjon og gå kort (lang) 2-måneders obligasjon. Handelen er konstruert som følger. Anta at k59 dollar er investert i 60-måneders obligasjonen, vi må kutte 2-måneders obligasjonen med k dollar for å oppnå durationmatching. Det overskytende kontanter på 58k59 dollar er deponert i en måneds tenor. Denne strategien er en kontantnøytral handel og har en null netto varighet. Et parallelt skifte i rentekurven har ubetydelig innvirkning på utbetalingen. Strategi 2-B: Gjennomsnittlig reversering av avkastningen sprer seg mellom 2 tilstøtende obligasjoner. Denne handel er basert på oppfatningen om at rentespredningen mellom to tilstøtende obligasjoner med forfallstid (X 1) måneder og (Y 1) måneder, med Y gt X, på enmåneders forward yield kurve ville bety tilbake til tilsvarende spredning på den ubetingede avkastningskurven. Vi sammenligner avkastningsspredningen av tilstøtende par obligasjoner på enmåneders forward yield kurve mot det historiske gjennomsnittet på den ubetingede avkastningskurven. Hvis den enmåneders 11 12 spredningen er større (mindre) enn den ubetingede kurven, går du lang for obligasjonen, med løpetid på Y måneder, og kortar obligasjonen med løpetid på X måneder. Vi durvevekter hvert ben av handelen, slik at endringer i rentespredningen med like stor styrke på tvers av ulike bransjer ville gi omtrent like utbetalingsbidrag til porteføljen. For noen obligasjoner med løpetid på Z måneder, kontanter for å gå lenge eller kort, er obligasjonen k (z 1) dollar. Vi pålegger igjen kontantneutralitet. Denne handelen fokuserer i hovedsak på helling av rentekurven for tilstøtende obligasjoner på enmåneders forward yield kurve. Vi ser på to versjoner av handelen, både for rentekurver med bare primære obligasjoner og et annet sett med forfall en måned bortsett fra en måned til 60 måneder. Klasse 3: Gjennomsnittlig reversering av krumning Vi definerer krumning som følger. Ta tre nullkupongobligasjoner, med løpetid i X, Y og Z måneder og tilsvarende enmåneders fremdriftsutbytte av r X, r Y og r Z. Krumningen av kurveavkastningskurven, som definert av de tre obligasjonene, er målet : rx rx rz ry cxyz (.) YXZY (2) Dersom krumningen er mindre (større) i forhold til det korresponderende målet for ubetinget avkastningskurve over det samme settet av forfall, er forventningen at krumningen i en måned fremover Rentekurven vil øke (reduksjon). Vi vurderer to strategier. Strategi 3-A: Gjennomsnittlig reversering av krommens kurvekurve Denne strategien fokuserer på hele avkastningskurven. Spesielt vurderer vi løpetidene på 1 måned, 29 måneder (et hypotetisk obligasjon, og midtpunktet) og 59-måneders obligasjonen, på en måned fremover-rentekurven. Hvis krumningen forventes å øke (redusere), vil den underforståtte handelen gå lang (kort) 2-måneders og 60-måneders 12 13-obligasjoner og kort (lang) 30-måneders obligasjonen, på gjeldende avkastningskurve. Vi samsvarer med varigheten av de ulike delene av handelen som følger. For hver k59 dollar investert i 60-månedersobligasjonen (med en varighet på 59 måneder), er beløpet som er investert i 2-månedersobligasjonen k dollar. Deretter for 30-måneders obligasjonen (med en varighet på 29 måneder), er beløpet til kort 2k29 dollar. De overskytende finansieringsbehovene er oppfylt ved å låne k (1 k29) dollar ved en måneds tenor. Handelen er kontantnøytral og har null varighet, slik at et parallelt skifte i rentekurven eller en endring i rentekurvens helling uten kromskifte har ubetydelig innvirkning på utbetalingen. Krumningshandelstrategien vi nettopp har beskrevet, blir ofte referert til som en vektstangsstrategi. Strategi 3-B: Gjennomsnittlig reversering av krumningen av 3 tilstøtende obligasjoner til ubetinget krølling I denne handel sammenligner vi krumningen av noen tre tilstøtende obligasjoner, si med forfall på (X 1), (Y 1) og (Z 1) måneder på 1-måneders forrentningskurve målt som cx (1, Y1, Z1) beskrevet i (2), med den tilsvarende krumning ved den ubetingede avkastningskurven. Hvis krumningen er mindre (større) i forhold til den ubetingede avkastningskurven, er forventningen at krumningen av den nåværende rentekurven over de tre løpetidene vil øke (redusere). Den underforståtte handelen går lang (kort) X-måned og Z-måneders obligasjon og kort (lang) Y-månedens obligasjon. Igjen matcher vi varigheten av de ulike delene av handelen, slik at handelen er immun mot skift i avkastningskurven. Mengden kontanter som skal investeres i X - og Z-måneders obligasjoner er henholdsvis k (x 1) dollar og k (z 1) dollar. For obligasjonen med Y-måneders løpetid er kontantbeløpet gitt med 2k (Y 1) dollar. Finansieringsbehovet eller overskytende kontanter for denne handelen er k (x 1) k (z 1) 2k (Y 1) dollar. Strategien er i hovedsak en portefølje av krumningsbransjer, som bruker alle primære obligasjoner. 13 14 Siden de hypotetiske bindingene er lineært interpolert fra de primære bindingene, er krumningen av hypotetiske bindinger null. Derfor virker ikke handelen med hypotetiske obligasjoner. 2.3 Benchmarks For å kunne sammenligne utførelsen av gjennomsiktig handel som beskrevet i det foregående avsnittet, konstruerer vi to referanser. Den første er et referanseindeks for fast inntekter, mens den andre er et referanseindeks for aksjeinvesteringer. Referanseindeks 1 Investering i Lehman Brothers US Government Intermediate Bond Index 4 Denne referansen er konstruert ved å anta at vi går lenge på Lehman Brothers US Government Intermediate Bond Index. Handelen finansieres ved å kortlegge 1 måneders statsskatt. Dette er et standard referanseindeks i rentemarkedet, hovedsakelig avkastning av rentenes rentepremie (se Stigum og Fabozzi, 1987). Denne handelen, som alle andre strategier vi tester, er kontante nøytral. Når vi brukes som referanse, vil vi matche volatiliteten til denne strategien til de andre strategiene, og deretter sammenligne midlene. 4 Det er et lignende, men mindre vanlig, referanse som vi kan bruke. Å tjene på termen premie innebærer å kjøpe en langvarig obligasjon, og holde den i en periode. Derfor er det et logisk mål å bare kjøpe en 60-måneders obligasjon hver måned og holde den til forfall, hele tiden gjeldsfinansiere de lange posisjonene med tilsvarende korte stillinger i 1-måneders statsskatt. En ny 60 måneders obligasjon kjøpes hver måned. Derfor er det en portefølje av obligasjoner med løpetid fra en måned til 60 måneder. Utbetalingen av porteføljen er beregnet som merket til markedsresultat hver måned. Som forventet er dette referansen nesten identisk med en investering i Lehman Brothers US Government Intermediate Bond Index. 14 15 Benchmark 2 Kontantnøytral Investering i SampP-indeksen Endelig konstruerer vi et aksjeindeks for å sammenligne resultatene av gjennomsnittlig omvendt handel mot en alternativ investeringsstrategi i egenkapitalen. De fleste studier på investeringsstrategier for rentekostnader sammenligner ikke ytelsen mot den alternative strategien for å investere i egenkapitalinstrumenter. Any attempt at doing so often runs into problems of comparability, in terms of risk adjustments, holding period and credit risks etc. The equity benchmark we construct addresses these issues. We use the SampP index, starting from January Invest a dollar in the SampP index, and borrow a dollar for one-month by shorting 1-month Treasury bills. The trade is cash-neutral, with a one-month holding period. We found that the average profit is 5.75 for every 1000 invested in the SampP, funded by 1-month borrowings. 3. Results and Analysis By adjusting the cash amounts, we can derive comparable volatilities (standard deviation) in payoffs for the SampP investment against a particular mean-reverting yield curve strategy. Let the standard deviation of payoffs for the cash-neutral investment in the SampP index from January 1973 to December 2000 be denoted E sigma. Similarly, let denote the standard deviation of payoffs, from January 1973 to December 2000, for a yield curve strategy numbered . Hence, to yield identical volatility in payoffs, the cash amount of k dollars for a particular yield curve strategy is given by sigma E sigma k (3) sigma for each dollar invested in the SampP trade. Note that the matching of volatilities across different strategies is done after all the payoffs are realized. This is to ensure that the volatilities of the 2 competing strategies will be matched exactly. This procedure does not, in any way, compromise the fact that all investment decisions are made out-of-sample. 15 16 It merely seeks to evaluate any two competing strategies on a fair and comparable basis by scaling the size of the monthly payoffs to match the standard deviations of the 2 strategies. Table 1 below presents performance of the various strategies and benchmarks before accounting for trading costs. (We defer the discussion of transaction costs to Section 3.3.) From Table 1, we note that, on a comparable risk-adjusted basis, only strategies 2-B, 3-A and 3-B yield higher payoffs compared with the two benchmarks. In particular, not all mean-reverting yield curve strategies beat the simple buy-and-hold bonds strategy (Benchmark 1). In the following subsections, we analyze in detail the set of profitable mean-reverting yield-curve strategies INSERT TABLE 1 HERE Performance against the Benchmarks Against the two benchmarks, strategies 2-B and 3-B have performed remarkably well. On a comparable basis, Table 1 shows that the monthly payoff of strategy 2-B is about 5.1 times that of the monthly payoff of the equity benchmark (benchmark 2). This means that while investing 1000 in SampP (and funding the investment by shorting 1- month Treasury Bills) generates an average profit of 5.75 per month, strategy 2-B generates 29.51 per month, after adjusting the volatility of payoffs for strategy 2-B to exactly match the volatility of payoffs from the SampP strategy. For strategy 3-B, the corresponding ratio is about 3.3 times against the equity benchmark Hence, yield-spread mean-reverting and curvature mean-reverting strategies can outperform an equity investment strategy, on a risk-adjusted basis. 16 17 Moreover, Strategies 2-B and 3-B also outperformed the bond benchmark. In the case of strategy 2-B, the average monthly payoff is about 5.9 times that of Benchmark 1, while for strategy 3-B, the average monthly payoff is about 3.8 times that of Benchmark 1. The next subsection will test whether these superior performance of (gross) payoffs relative to the benchmarks are statistically significant. 3.2 Test of Significance of Excess Payoffs against Benchmarks To test whether strategies 2-B, 3-A and 3-B significantly outperform the benchmarks, we conduct two statistical tests of significance these are: the paired t-test and the Diebold-Mariano statistical test (D-M test). The paired t-test requires that the time-series of payoff differences be independent. Positive auto-correlations will incorrectly overstate the power of the test. Figures 2, 3 and 4 respectively plot the first 60 auto-correlation of the payoff differences between the strategies and the benchmarks. The autocorrelations are small in absolute values and are also distributed across positive and negative values. This means that the paired t-test, while not perfect, is still reasonable for our purpose INSERT FIGURES 2, 3 AND 4 HERE The Diebold-Mariano statistic (see Diebold and Mariano, 1995) can be used to ascertain whether the mean of an autocorrelated series is significantly different from zero. It is less powerful that the t-test, but it requires weaker assumptions by accounting for auto-correlation. We implement the Diebold-Mariano statistic using a Barlett lag window 17 18 (see Newey and West, 1987) to ensure non-negativity of the spectral density. We also allow autocorrelations of up to 60 lags. The Diebold-Mariano statistic is expressed as a Z-Score. Therefore, a number higher than 1.96 will imply that the difference between the two means being tested is statistically significant INSERT TABLE 2 HERE Table 2 shows that while strategy 3-A does not significantly outperform the benchmarks, strategies 2-B and 3-B do. In particular, the p-value of the t-tests for strategies 2-B and 3- B are negligible. For the D-M test, strategy 2-B managed a p-value of and against benchmarks 1 and 2 respectively. Meanwhile, strategy 3-B obtained a p-value of and against benchmarks 1 and 2 respectively. These p-values of these tests are so low, especially for strategy 2-B, that our results are still highly significant even after making simple bonferroni adjustments to account for the fact that we tested 6 strategies in this study Transaction Costs Thus far, all our analyses are done in terms of the gross payoffs of the different mean-reverting yield curve strategies. An obvious question to ask is whether the set of profitable trades, specifically strategies 2-B and 3-B, would continue to outperform the indices (or even yield positive returns) when the appropriate transaction costs are taken 5 The simple bonferroni correction adjusts the required p-value for rejection to account for multiple tests by dividing the alpha-level by the number of tests conducted. Therefore, in the case of our study where 6 tests are conducted, the p-value required for a rejection at the 5 level is The p-value from Strategy 2-B is still smaller than 19 into account. Transaction costs in bond trading are embedded in the form of the spread between the bid and ask yields. The 5-year average spreads are approximately 1 basis point for Treasury bills that mature in 1 year or less, 0.8 basis points for 2-year bonds and 0.35 basis points for 5-year bonds 6. A reasonable assumption would be that the transaction cost for each trade is half the quoted spread. For the purpose of this paper, we assume a spread of 1 basis point for all the bonds traded (and therefore pay a transaction cost of half basis point). Assuming a cost of half basis point, the cost expressed in dollars is a function of the maturity of the bond and the value of the bond, and can be approximated as follows: (Transaction Cost) (Maturity in Years) (Value of Bond) (4) As an illustration, buying or selling 100,000,000 worth of 6-month Treasury Bills will attract a transaction cost of 0.5100,000,000 INSERT TABLE 3 HERE The profitability of strategies 2-B, 3-A and 3-B after accounting for transaction costs are reported in Table 3. We assume that the benchmarks are traded without any transaction costs. Strategy 2-B is still significantly more profitable than both the benchmarks under all measures (both the t-tests and the D-M tests). Strategy 3-B is only significantly better than the benchmarks in the t-tests but not in the D-M tests, while Strategy 3-A remains marginally better than the benchmarks. It is important to note that the transaction costs we calculated are based on the assumption that the mean-reverting yield curve strategies are executed on a physical basis, 6 Source: Bloomberg, accessed on 5 November 20 i. e. the actual bonds are bought and sold and funds are borrowed (if required) to construct the trades on a monthly basis. The transaction costs can be diminished by reducing the frequency of the entering and exiting trades. For instance, instead of executing the trades on a monthly basis, the trades could be executed on a quarterly basis, or when the relevant deviations on forward yield curves for spreads and curvatures exceed certain thresholds. More importantly, the transaction costs can be reduced substantially if the yield curve strategies are structured as derivative trades (on a notional basis) to mirror the economic cashflows of the underlying strategies, without actually funding and holding the bonds. These derivative trades are commonly carried out in the fixed income market. 7 Therefore, while factoring in transaction costs may appear to diminish the profits from some the mean-reverting yield curve trades, there are different ways to lower the transaction costs. Nevertheless, Strategy 2-B still returns a significantly better profit than all the benchmarks even after accounting for these costs. 3.4 Value-Add of Mean-Reverting Strategy to Investment in the SampP Index In the preceding sections, we have shown that a number of mean-reverting yieldcurve strategies can be highly profitable. Another way to demonstrate the attractiveness of mean-reverting yield curve strategies is to consider the incremental value-add of including such strategies to an existing investment strategy. In this regard, Foster and Stine (2003) introduce a convenient test to ascertain whether a particular strategy can add 7 Of course, the pricing of the derivative trades may involve other costs as well, as investment banks take a cut from the potential profits. Fortunately, there are some standard derivatives that can be traded at extremely low cost and can substitute for a pair of long-short trade in bonds. For instance, the highly liquid Eurodollar futures gives identical payoff as shorting a bond of a certain maturity, and at the same time going long a another bond of maturity 90 days longer than the shorted bond. 20 21 value to a buy-and-hold investment in the SampP index. The Foster-Stine test involves regressing the excess returns of the selected strategy against the excess returns from the buy-and-hold investment in the SampP index. Based on this regression, we can obtain the t-statistic as well as the p-value of the intercept that allows us to test if adding a new strategy leads to a significant improvement in the performance of the portfolio. Again, the p-value needs to be adjusted using the bonferonni correction when multiple strategies are tested. If the regression intercept is statistically significant, then we can say that the particular strategy does in fact add value to the original strategy of buy-and-hold the SampP index. The basic premise behind this test is that a strategy that gives a positive mean return and is not too highly correlated to the SampP index can be linearly combined with the SampP index to obtain a better mean-variance return profile. In other words, a strategy that serves as a good addition to diversify holdings in the SampP index can therefore add value. In the case of the mean-reverting yield-curve strategies we examined in this paper, Strategies 2-B, 3-A and 3-B are found to have significant value-add even after accounting for transaction costs and the bonferonni correction. In particular, Strategies 2-B and 3-B have t-statistics of and respectively, with negligible corresponding p-values. The results of the Foster-Stine test are reported in Table 4 below INSERT TABLE 4 HERE Breakdown of the Payoffs For strategies 2-B and 3-B, we further analyzed the breakdown of payoffs. Figures 5 and 6 show the contribution of the payoffs from each trade trade-segment in the portfolio for Strategies 2-B and 3-B, respectively. 21 22 INSERT FIGURES 5 AND 6 HERE The results show that almost every trade in the portfolio contributed positively to the payoffs. No single trade dominates the entire portfolio, although interestingly, trading the yield spread between 10-month and 11-month maturities as well as trading on the curvature among 10-month, 11-month and 23-month maturities, on the one-month forward yield curve, generate substantial profits. For these two yield curve strategies, we plot the monthly payoffs against the absolute deviations of the relevant parameter from the unconditional yield curve. The plots are shown in Figures 7 and 8 below INSERT FIGURES 7 AND 8 HERE The figures show that, for these two trades, the monthly payoffs have a high positive correlation with the absolute deviations from the unconditional yield curve (correlation for strategy 2-B, and correlation for strategy 3-B). In other words, the payoffs from these two trades are not random payoffs: the larger the deviation from the unconditional yield curve, the larger the resulting profit from that particular trade. This result strongly supports the view that the spread and curvature of these portions of the yield-curve do in fact mean-revert. The presence of the most profitable trade segments in the 10-month to 23 month portion of the one-month forward yield curve provides some support for the marketsegmentation view of the interest rate term structure in the fixed income market. This is 22 23 the market view that many participants in the fixed income market have preferred habitats that are dictated by the nature of liabilities and investments, so that a major factor influencing the shape of the yield curve is the asset-liability management constraints that are either regulatory or self-imposed. Specifically, the yield curve is viewed as comprising a short-end up to the 12-month maturity and a long-end from 12-month onwards. Asset-liability management constraints, when they exist, restrict lenders and borrowers to the short-end or the long-end of the yield curve, or even certain specific maturity sectors, and, as a result, investors and borrowers do not shift from one maturity sector to another to take advantage of opportunities arising from differences between market expectations and the forward interest rates. Arbitrage trades in the fixed income market are frequently constructed in the transition between the shortend and the long-end of the yield curves. 3.6 Time Series Analysis To investigate the profitability of strategies 2-B and 3-B over time, we plot the 10-year moving average of the payoffs of strategies 2-B and 3-B against the two benchmarks. These are shown in Figures 9 and 10 below INSERT FIGURES 9 AND 10 HERE From Figures 9 and 10, it can be seen that the average monthly payoffs for both strategies 2-B and 3-B were initially significantly higher than the payoffs for the two benchmarks. However, the gaps against the two benchmarks appeared to have narrowed. In the case of strategy 3-B, the gap narrowed sharply from around 1984 onwards, and by 1990, the 10-year moving average monthly return has fallen below the two benchmarks. 23 24 A plausible explanation of this finding is that fixed income market has improved in efficiency over the years, as market information improved and trading liquidity increased. Moreover, improvements in computing technology and telecommunications also allowed traders to rapidly seek out and take advantage of trading opportunities afforded by the yield-curve mean-reversion market view. 4. Conclusion The objective of this paper is to examine the profitability of a class of yield-curve trading strategies that are based on the view that the yield curve mean-reverts to an unconditional yield curve. Our study has shown that a number of these yield-curve trading strategies can be highly profitable. In particular, trading strategies focusing on the mean-reversion of the yield spreads and curvatures significantly outperformed two commonly-used benchmarks of investing in the Lehman Brothers U. S. Government Intermediate Bond Index and investing in the SampP, on a risk-adjusted basis. Although factoring in transaction costs lower the profitability of these trades against the benchmarks, the significant result still remains for some of these strategies. Transaction costs can also be reduced substantially, for instance, through structured derivative trades that mirror the underlying cashflows or by reducing the frequency of the trades. We also investigated the profitability of these mean-reverting yield curve trades over time. A time series analysis of the performance of the various yield-curve trading strategies also show that market efficiency appeared to have improved considerably, and the scope for excess returns over the benchmarks has diminished. Nonetheless, trading opportunities still exist in yield-spread mean-reversion strategies. Moreover, these strategies are found to have significant value-add to a strategy of buy-and-hold the SampP index. 24 25 References Balduzzi, P. Bertola, G. and Foresi, S. A model of target changes and the term structure of interest rates. Journal of Monetary Economics 24, Campbell, J. Some lessons from the yield curve. Journal of Economic Perspectives 9, Campbell, J. Shiller, R. J. Yield spreads and interest rate movements: A bird s eye view. Review of Economic Studies 58, Culbertson, J. M. The term structure of interest rates. Quarterly Journal of Economics 71, Cox, J. C. Ingersoll, J. E. Ross, S. A. A reexamination of traditional hypotheses about the term structure of interest rates. Journal of Finance 36, Cox, J. C. Ingersoll, J. E. Ross, S. A. A theory of the term structure of interest rates. Econometrica 53, Darst, D. M. The Complete Bond Book, McGraw Hill, New York. De Leonardis, N. J. Opportunities for increasing earnings on short-term investments, Financial Executive, 10, 48:53. Diebold, F. Mariano, R. S. Comparing predictive accuracy Journal of Business Economics and Statistics, 13, Drakos, K. Fixed income excess returns and time to maturity. International Review of Financial Analysis 10, Dyl, E. A. Joehnk, M. D. Riding the yield curve: does it work Journal of Portfolio Management 7, Fabozzi, F. J. Bond Markets, Analysis and Strategies. Upper Saddle River, Prentice Hall, New Jersey. Fisher, I. Appreciation and Interest. Publications of the American Economic Association 9, Fisher, M. Forces that shape the yield curve: Parts 1 and 2. Working paper. Federal Reserve Bank of Atlanta, USA. Foster, D. P. Stine, R. A. Ponzironi Returns: How to distinguish a con from a good investment using only statistics. Working paper 2003, The Wharton School, University of Pennsylvania. Freund, W. C. Investment fundamentals. The American Bankers Association, 9, Grieves, R. Marchus, A. J. Riding the yield curve reprise. Journal of Portfolio Management 18, Hamburger, M. J. Platt, E. N. The expectations hypothesis and the efficiency of the Treasury bill market. Review of Economics and Statistics 57, Jones, F. J. Yield curve strategies. Journal of Fixed Income, Litterman, R. Scheinkman, J. Common factors affecting the bond returns, Journal of Fixed Income, 1, Lutz, F. A. The Structure of Interest Rates. Quarterly Journal of Economics 40, 26 Mankiw, G. Miron, J. The changing behavior of the term structure of interest rates. Quarterly Journal of Economics 101, Mann, S. V. Ramanlal, P. The relative performance of yield curve strategies. Journal of Portfolio Management 23 (4), Meiselman, D. The Term Structure of Interest Rates. Englewood Cliffs, Prentice Hall. Newey, W. West, K A simple, positive-semi definite, heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix. Econometrica, 55, Pelaez, R. F. Riding the yield curve: Term premiums and excess returns. Review of Financial Economics 6 91): Rudebusch, G. Federal Reserve interest rate targeting, rational expectations, and the term structure. Journal of Monetary Economics 5, Shiller, R. J. The term structure of interest rates. In Friedman, B. Hahn, F. (ed) The Handbook of Monetary Economics, North Holland. Shiller, R. J. Campbell, J. Schoenholtz, K. Forward rates and future policy: Interpreting the term structure of interest rates, Brookings Papers on Economic Activity 1, Stigum, M. Fabozzi, F. The Dow Jones-Irwin Guide to Bond and Money Market Investments. Homewood, IL: Dow Jones-Irwin. Vasicek, O. An equilibrium characterization of the Term Structure. Journal of Financial Economics, 5, Weberman, B. Playing the yield curve, Forbes, August 15, 27 Table 1 Risk-adjusted Average Gross Payoff of Mean-Reverting Yield-Curve Strategies 1 Class Strategy Bonds2 Mean Payoff Against Benchmark 1 Against Benchmark 2 Yield Level 1-A P H B P H Yield Spread 2-A P B P H Curvature 3-A P Benchmark 1 3-B P Investment in LB Government Intermediate Index Benchmark 2 Investment in SampP Index Notes: 1. The average payoffs are risk-adjusted. For each dollar invested in the SampP index (funded by borrowing 1-month), the amount invested in a yield-curve trade is scaled to give the same standard deviation of the payoffs from Jan 1973 to December P the trade is structured for primary bonds only H the trade is structured for both primary and hypothetical bonds. 27